Funkcja kwadratowa - Matematyka online - platforma z kursami do matury! www.eMatematyka.com

Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej ma wzór $y=ax^2+bx+c$ , przy czym $a \neq 0, b \in \R, c \in \R.$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której zwrot ramion zależy od współczynnika $a$ :

Wyróżnik funkcji kwadratowej $y=ax^2+bx+c, a\neq 0$ , nazywany deltą – $\Delta$ obliczamy ze wzoru $\Delta=b^2-4ac$ .

Jeśli:

$\Delta>0$ , to parabola przecina oś $OX$ w dwóch miejscach – ma dwa miejsca zerowe:
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta<0$ , to parabola nie przecina osi $OX$ – nie ma miejsc zerowych
$\Delta=0$ , to parabola ma z osią $OX$ jeden punkt wspólny – ma jedno miejsce zerowe:
$x_0=-\frac{b}{2a}$

Wierzchołek paraboli to miejsce, w którym funkcja zmienia swoją monotoniczność:

Jest to punkt $(x_w,y_w)$ , który zapisujemy również jako $(p,q)$ .

Wzory:

ogólna $y=ax^2+bx+c$ – z tej postaci odczytujemy współczynniki $a,b,c$
kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ – z tej postaci odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli $(p,q)$ oraz współczynnik $a$
iloczynowa $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ – z tej postaci odczytujemy miejsca zerowe funkcji $x_1,x_2$ oraz współczynnik $a$

Uwaga – gdy funkcja nie ma miejsc zerowych, to nie posiada postaci iloczynowej.

dziedzina funkcji kwadratowej to zbiór liczb rzeczywistych – $x \in \R$
zbiór wartości funkcji kwadratowej:
– jeśli $a>0$ , to $y \in <q; + \infty)$
– jeśli $a<0$ , to $y \in (- \infty; q>$
funkcja kwadratowa nie jest monotoniczna na całej dziedzinie – jest monotoniczna przedziałami:
– jeśli $a>0$ , to funkcja jest malejąca w przedziale $x \in (-\infty;p>$ i rosnąca w przedziale $x \in <p; + \infty)$
– jeśli $a<0$ , to funkcja jest rosnąca w przedziale $x \in (-\infty;p>$ i malejąca w przedziale $x \in <p; + \infty)$
funkcja kwadratowa nie jest różnowartościowa
miejsce przecięcia funkcji kwadratowej $y=ax^2+bx+c$ z osią $OY$ to punkt $(0,c)$