Funkcja liniowa jest określona wzorem y=ax+b – jest to postać kierunkowa, gdzie:
a to współczynnik kierunkowy prostej, b to wyraz wolny.
Postać ogólna funkcji liniowej: Ax+By+C=0
Wykres funkcji liniowej
Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Prosta jest jednoznacznie wyznaczona przez dwa punkty, więc do naszkicowania wykresu funkcji liniowej wystarczy znać dwa punkty, które do niej należą.
Jeśli do funkcji liniowej y=ax+b należą punkty A=(x_1,y_1) oraz B=(x_2,y_2), to a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Własności funkcji liniowej
Dziedzina funkcji liniowej to zbiór liczb rzeczywistych – jest określona dla każdego x.
Zbiór wartości funkcji liniowej to zbiór liczb rzeczywistych.
Miejsce zerowe funkcji liniowej y=ax+b to argument x_0=-\frac{b}{a} – punkt (-\frac{b}{a},0).
Miejsce przecięcia funkcji liniowej y=ax+b z osią OY to punkt (0,b).
Monotoniczność funkcji liniowej y=ax+b zależy od współczynnika a:
- gdy a>0, to funkcja jest rosnąca
- gdy a<0, to funkcja jest malejąca
- gdy a=0, to funkcja jest stała – wówczas wzór funkcji to y=b.
Wzajemne położenie dwóch prostych:
Proste k oraz l postaci kierunkowej:
- k: y=a_1x+b_1
- l: y=a_2x+b_2
są: - równoległe, gdy a_1=a_2
- prostopadłe, gdy a_1=-\frac{1}{a_2} \leftrightarrow a_1 \cdot a_2 = -1
- przecinają się pod kątem ostrym \alpha i \tan \alpha = \frac{|a_1-a_2|}{1+a_1a_2}, gdy a_1 \neq a_2 oraz a_1a_2 \neq -1
Proste te k oraz l postaci ogólnej:
- k: A_1x+B_1y+C_1=0
- l: A_2x+B_2y+C_3=0
są: - równoległe, gdy A_1B_2-A_2B1=0
- prostopadłe, gdy A_1A_2+B_1B_2=0
- przecinają się pod kątem ostrym \alpha i \tan \alpha = |\frac{A_1B_2-A_2B1}{A_1A_2+B_1B_2}|, gdy A_1B_2-A_2B1 \neq 0 oraz A_1A_2+B_1B_2 \neq 0