Dla dowolnej liczby rzeczywistej \sqrt{a^2} = \left|a\right|= \left\{ \begin{array}{ll}\ \ \ a, \ gdy \ a \ge 0 & \\ -a, \ gdy \ a<0 &\\\end{array} \right.
(\sqrt{a})^2=a\sqrt{a} to pierwiastek drugiego stopnia (kwadratowy) z liczby a. Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia (można to uogólnić na pierwiastek stopnia parzystego) zawsze jest liczbą nieujemną. Poniżej przykłady:
\sqrt{9}=3 , bo 3^2=9, ale \sqrt{16}\neq -4 mimo, że (-4)^2=16
Pierwiastek to potęga ułamkowa, dlatego możemy zapisać \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, a ogólnie \sqrt[b]{a}=a^{\frac{1}{b}} oraz \sqrt[b]{a^c}=(\sqrt[b]{a})^c = a^{\frac{c}{b}}.
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby rzeczywistej a nazywamy liczbę b, która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa a. Pierwiastek trzeciego stopnia nazywamy pierwiastkiem sześciennym.
\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a.
Przykłady:
\sqrt[3]{27}=3 , bo 3^3=27 \\
\sqrt[3]{-64}=-4, bo (-4)^3=64
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Dodawanie: c\sqrt[a]{b}+d\sqrt[a]{b}=(c+d)\sqrt[a]{b} \\
Odejmowanie: c\sqrt[a]{b}-d\sqrt[a]{b}=(c-d)\sqrt[a]{b}
Pierwiastki możemy dodawać i odejmować tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia oraz pod pierwiastkiem znajduje się ta sama liczba.
Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Mnożenie (iloczyn): \sqrt[a]{b} \cdot \sqrt[a]{c}=\sqrt[a]{b\cdot c} \\
Dzielenie (iloraz): \sqrt[a]{b} : \sqrt[a]{c}=\sqrt[a]{b: c} \\
\frac{\sqrt[a]{b}}{\sqrt[a]{c}}=\sqrt[a]{\frac{b}{c}} \\Mnożenie i dzielenie pierwiastków możemy wykonać tylko wtedy, gdy te pierwiastki są tego samego stopnia.
Sprawdź kursy:
