Funkcja wymierna jest ilorazem dwóch wielomianów.
Proporcjonalność odwrotna
Proporcjonalność odwrotna to zależność między dwoma zmiennymi x i y, która jest określona wzorem y=\frac{a}{x}. Wraz ze wzrostem jednej zmiennej, maleje druga zmienna. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola.
Własności funkcji wymiernej postaci y=\frac{a}{x}:
- dziedzina: x \in \R \backslash \{ 0 \}
- zbiór wartości funkcji: y \in \R \backslash \{ 0 \}
- monotoniczność:
– jeśli a<0, to funkcja jest rosnąca dla x \in (-\infty;0) oraz x \in (0;+\infty)
– jeśli a>0, to funkcja jest malejąca dla x \in (-\infty;0) oraz x \in (0;+\infty) - asymptoty:
– pionowa x=0
– pozioma y=0 - brak miejsc zerowych
Własności funkcji wymiernej w postaci kanonicznej y=\frac{a}{x-p}+q:
- dziedzina: x \in \R \backslash \{ p \}
- zbiór wartości funkcji: y \in \R \backslash \{ q \}
- monotoniczność:
– jeśli a<0, to funkcja jest rosnąca dla x \in (-\infty;p) oraz x \in (p;+\infty)
– jeśli a>0, to funkcja jest malejąca dla x \in (-\infty;p) oraz x \in (p;+\infty) - asymptoty:
– pionowa x=p
– pozioma y=q - miejsce zerowe x_0=p-\frac{a}{q}, jeśli q \neq 0
Funkcja homograficzna y=\frac{ax+b}{cx+d}
c \neq 0 \\
ad-bc \neq 0 \\
Każdą funkcję homograficzną możemy przekształcić do postaci kanonicznej funkcji wymiernej.