Funkcja wykładnicza i logarytmy

Funkcja wykładnicza

Własności funkcji wykładniczej y=a^x:

• a \in (0;+\infty) \backslash \{1\}
• dziedzina: x \in \R
• zbiór wartości funkcji: y \in \R_+
• monotoniczność:
  – jeśli a>1 – rosnąca
  – jeśli a \in (0;1) – malejąca
• brak miejsc zerowych

Logarytmy

Logarytmem przy podstawie a liczby b, nazywamy taką liczbę c, gdy a podniesione do potęgi c daje liczbę b.

log_{a}b=c \iff a^c=b.

Podstawa a logarytmu \log_{a}b musi być liczbą dodatnią różną od 1: a>0 \wedge a \neq 1, a liczba logarytmowana b musi być liczbą dodatnią: b>0.

Aby obliczyć logarytm \log_{a}b należy odpowiedzieć na pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b.

Przykłady:

\log_{2}8=3, bo 2^3=8

\log_{3}81=4, bo 3^4=81

Wzory i własności logarytmów:

potęga liczby logarytmowanej: \log_{a}b^c=c \cdot \log_{a}b = \log_{a^{\frac{1}{c}}}b\\

suma logarytmów o tych samych podstawach: \log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(b \cdot c) \\

różnica logarytmów o tych samych podstawach: \log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}(b : c) \\

logarytm w potędze: a^{\log_{a}b}=b \\

zamiana podstawy logarytmu: \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}